６１７４は不思議の数字 電卓で遊ぶ数の不思議 その３

またまた任意の４桁の数を思い描いてメモしてください。
ただし「ぞろ目」はダメです。
その数のそれぞれのけた数を大きな順に並べた数から、小さな順に並べた数を引いてみてください。
例　４２３１を思い浮かべたとします。
４３２１−１２３４＝３０８７
またそれぞれの桁の数を大きい順に並べた数から小さい順に並べた数をひきます。
８７３０−３７８＝８３５２
同じことを繰り返します。
８５３２−２３５８＝６１７４
７６４１−１４６７＝６１７４
別な数でやってみましょう。
１０００を思い浮かべたとします。
１０００−１＝９９９
９９９０−９９９＝８９９１
９９８１−１８９９＝８０８２
８８２０−２８８＝８５３２
８５３２−２３５８＝６１７４
７６４１−１４６７＝６１７４

何度か同じことを繰り返していくと、かならず６７１４という数になっていきます。
この６７１４という数はどういう数なのでしょうか。

代数かなんかで実際に繰り返し計算をしないでこの数を導き出すことができるでしょうか？
（１０００ａ＋１００ｂ＋１０ｃ＋ｄ）−（１０００ｄ＋１００ｃ＋１０ｂ＋ａ）
＝９９９（ａーｄ）＋９９（ｂ−ｃ）
というところまではわかるのですが、そこから先の解明については残念ながら私はまだ成功していません。
どなたか成功したら教えてください。お願いします。
これが９の倍数であることはすぐにわかるし、またそれぞれの桁の数の合計が１８であることも経験的にわかるのですが。
６７１４＝９×２×７×７×７
であることも関係あるかもしれません。

この数はカプレカの数というのだそうです。
http://www.geocities.jp/hagure874/kapu.html



では、今度は３桁でやってみましょう。
１００−１＝９９
９９０−９９＝８９１
９８１−１８９＝７９２
９７２−２７９＝６９３
９６３−３６９＝５９４
９５４−４５９＝５９４
この引いた数は１１と９の倍数、つまり９９の倍数になるのですね。
これは
（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）−（１００ｃ＋１０ｂ＋ａ）＝９９（ａーｃ）
という代数式からもわかります。
これもかならず５９４という数字に行き着きます。
この５９４という数字を計算以外の方法でどうやって導き出したらいいのか、
そこが問題です。これは６７１４よりは簡単かもしれません。
５９４＝１１×３×３×３×２＝９９×６
ということも関係あるのでしょうか。

２桁の場合は、これは簡単ですが、特定の数には収束しませんね。
では５桁の場合はどうなるか？
６桁の場合はどうなるか？
これもやり出したら、はまってしまいます。

ね、数って不思議でしょう。
他にもこういう不思議な数があったらぜひ教えてください。
お願いします。


では、今度は３桁でやってみましょう。
１００−１＝９９
９９０−９９＝８９１
９８１−１８９＝７９２
９７２−２７９＝６９３
９６３−３６９＝５９４
９５４−４５９＝５９４
この引いた数は１１と９の倍数、つまり９９の倍数になるのですね。
これは
（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）−（１００ｃ＋１０ｂ＋ａ）＝９９（ａーｃ）
という代数式からもわかります。
これもかならず５９４という数字に行き着きます。
この５９４という数字を計算以外の方法でどうやって導き出したらいいのか、
そこが問題です。これは６７１４よりは簡単かもしれません。
５９４＝１１×３×３×３×２＝９９×６
ということも関係あるのでしょうか。

２桁の場合は、これは簡単ですが、特定の数には収束しませんね。
では５桁の場合はどうなるか？
６桁の場合はどうなるか？
これもやり出したら、はまってしまいます。

ね、数って不思議でしょう。
他にもこういう不思議な数があったらぜひ教えてください。
お願いします。

Comments

今更数年前の記事にレスするのも何ですが
3桁の場合は495に収束します。954-459=495ですし。

6174の証明は、(a-d)と(b-c)をそれぞれ変数にして計算するのがベタです。基本的には総当たりでも0&#8804;(b-c)&#8804;(a-d)<10なので、(a-d)と(b-c)が高々54通りしかありませんしね。(概算ですが)
各位の数字を(a-d)と(b-c)であらわせる(これは(b-c)=0と(b-c)≠0の2通りある)ので
それを大小にわけて場合分けすれば、結局(a-d,b-c)=(6,2)しか定数に成りえないことは簡単にわかるはずです。
なかなか面白いトピックです。　と某高校生でした。

Posted by 隊長 at 2008年08月12日 20:33

カプレカー定数については月刊理系への数学2006年1月号に記事があります．少し古いので手に入りにくいかも知れません．
さて，記事から引用してみますと，循環性を持つ数であるためには4桁の数で並べ替えた最大数をabcdとして最小数dcbaとの差ABCDが{a,b,c,d}の組み合わせで表せる事である．
D=10+d-a
C=10+c-1-b=9+c-b
B=B-1-C(b>c)
A=A-D
上の式は筆算を用いると直感的に理解しやすいと思います．変数が4で式が4あるので4元連立一次方程式となり解は存在するはず．{a,b,c,d}の組み合わせは24通りで，(A,B,C,D)={b,d,a,c}が唯一の解．
これを解いて(a,b,c,d)={7,6,4,1}を得る．abcd-dcba=bdacつまり7641-1467=6174．
因みに6桁では549945，631764で7桁では無し，8桁では63317664，97508421となるそうです．なかなか興味深いですね．

Posted by 通りすがり at 2008年11月12日 18:16

訂正
D=10+d-a
C=10+c-1-b=9+c-b
B=b-1-c(b>c)
A=a-d
すみません．

Posted by 通りすがり at 2008年11月12日 18:19