たとえばこんな平面図形がある。
それぞれの点と線と面の数を数えよう。
すると次のような法則が存在する。
点の数＋面の数−線の数 ＝ 110 ＋ 11 − 20 ＝ 1
こんな図形なら7 ＋ 2 − 8 ＝ 1
この図形の場合には8 ＋ 3 − 10 ＝ 1
自分で任意の図形を考えてみてこの法則を確かめてみるといい。
これを立体図形で考えてみよう。たとえばこういう立体図形なら
8 ＋ 6 − 12 ＝ 2
つまり立体図形の場合には
点の数＋面の数−線の数 ＝ 2
なのである。
どうしてこうなるのか、どなたか説明できたら教えてほしい。なんていうことのない法則であるのだが、その証明はけっこう難しいのかもしれない。
証明は... 平面なら平凡な帰納法でできるのでは？
「オイラーの定理」といえば思い出すのは「ケーニヒスブルグの橋」から「一筆書きの原理」のこともいいますよね。
さっそくこれで検索をしてみると「オイラーの定理」にもいろいろあるのですね。
正多面体が、正四面体、正六面体、正８面体、正１２面体、正２０面体の５種類しかないということもこの「オイラーの多面体の定理」を使うと証明できるとかいうこともわかりました。
これが「プラトンの立体」と呼ばれるくだりもおもしろいです。