小学４年生の算数の問題、とける？

「大きさの違う3つの正方形の面積を求めなさい。」という小学４年生の算数の問題、これがけっこうむずかしい。方程式を使えばすぐに解けるが、小学４年生で学ぶ解き方で解かねばならない。私はついにギブアップでした。
答えを見てしまいました。答えを見たら「な〜んだ」ですが、これができる小学４年生はスゴイと思いました。

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電卓で遊ぶ数の不思議

おもしろ科学たんけん工房の北２地区（相鉄線東横線沿線地区）の５月定例会で「電卓で遊ぶ数の不思議」という話をしました。これは大人対象の話でしたが、聴いている人たちは「狐につままれたような」「あっけにとられた」表情をして聴いていました。
いずれも過去のブログで紹介したものなので、詳しくはそちらを見ていただきたいのですが、とにかくこれらの話は聴く人をそういう表情にさせてしまう不思議な話なのです。実際に自分で電卓を持ち出して試してみるとそのすごさが分かると思います。

１．世界一間違いやすい計算
とにかくこの計算をやってみてください。PowerPoint で作ってあるので、声を出して答えをいってみましょう。間違えやすい計算だと分かっていても間違えます。

２．世界で２番目に間違えやすい計算

「バットとボールがある。あわせて１ドル１０セント。バットはボールよりも１ドル高い。ボールはいくらでしょう？」

どうです。もうこの２つの問題だけでも、くらくらするでしょう。ここまでは電卓を使わずに行いましたが、次からは電卓を使って行います。

３．142857は不思議の数字
これは循環小数の不思議の話です。

４．シエラザードの数　１００１
任意の三けたの数を２回繰り返す、つまり123123みたいに。これは13でわれ、11でわりきれ、７でもわりきれる。

５．６１７４は不思議の数字　カプレカの数
任意の４桁の数（ただしぞろ目は不可）を大きい数の順に並べた数から小さい数の順に並べた数を引く。
例　3341　を考えたとすると　4331 - 1334 ＝ 2997
答えとして出てきた数を再び大きい数の順に並べた数から小さい数の順に並べた数を引く。
これを繰り返すとかならずある数6174にたどりつく。この数をカプレカのかズという。
これを再び同じことをすると　7641-1467=6174　となる。

６．12345679 という数の不思議
先ず初めに１から９までのある数を思い浮かべてください。
　そしてそれを９倍します。
　さらにその数に 12345679 をかけます。123456789 ではありません。８がないのです。
　すると………。

まだまだあるけれど、このくらいにしておこう。さてこれを読んでどんな印象ですか？
聴いていた人が『あっけにとられた』のもわかってもらえたでしょうか？

まだまだ不思議の数をご存知でしたら教えてください。

最近サイエンスナビゲーターとかなのっている桜井進さんが、私とよく似た問題意識をお持ちで、この方の紹介しているのもなかなかおもしろいですよ。私もこういう仕事をしてみたかった。


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サイエンスナビゲーターの興味あるお話し

最近サイエンスナビゲーターの桜井進さんの名前を新聞でよく見かける。その桜井さんが良く例に出す「小学生を驚かす計算」がある。（朝日新聞2012.10.20［フロントランナー」）

１から10までの10個の数を足した答えは………55.
では、３から12までの10個をたしたら？
「すぐ答えられる方法を教えましょう。前から５番目の数の後ろに５をつける。詰り7の後ろに5をつけて、堪えは！　８から17までなら、12と５で125！」

そんな難しい問題ではないが、即座に計算できるとしたら、やはりこれは驚くだろう。

またある日は、俳句の五七五と、日本の美を説いて、おとなたちをうならせる。
日本人が古くから美しいとした比は、西洋の黄金比だけでなく、白銀比の1対√2（1.4)隊１の１を５にかえたらどうなりますか？　５：７：５ですね。

桜井さんは自らをサイエンス・ナビゲーターという。映像と音楽を交えた「数学エンターテインメント」を全国に紹介しているという。

数学は人類がつむぎだした言葉であり、物語。現在過去未来がある。でもそれを語り広める人がいない。
日本は江戸時代から世界に誇れる数学大国。数学の感動を未来に伝えたい。

「こういう話をしたら、子供たちは興味を持つだろうな。きっと数学嫌いなんて大幅に減少するのではないか」私もこう思う。
以前「数学と算数が好きになる町」というのを提案したことがある。あのときにこの人を知っていたらきっと具体化しただろうなとちょっぴり残念である。

そういえば「面白科学たんけん塾」でこのような数の物語をあつめて「電卓で遊ぶ数の不思議」という塾をやろうと提案しているが、これでは子供たちが集まらないといわれて、まだ実現していない。しかし、そろそろその時期かもしれないと思うようになった。

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「1089」は不思議な数

１．好きな３けたの数を考えます。ただし、１のくらいの数と100のくらいの数は違う数字にしてください。　例　123
２．その３けたの数の100のくらいの数と１のくらいの数を入れ替えます。
　　　例　321
３．その２つの数のうち、大きい方の数から小さい方の数を引き算します。
　　　例　321-123＝198
４．その答えもさっきと同じように、100のくらいの数と１のくらいの数を入れ替えます。
　　　例　891
５．さて、３で引き算した数と４で入れ替えた数を足しましょう。
　　　例　198　＋　891　＝　1089

この答えは、最初の数をいろいろな数に変えてしてみても、いつも答えは 1089 になります。
この数はいったいなにものなのでしょうか？

１．最初の数を　100a + 10b + c としましょう。
２．100のくらいと1のくらいの数を入れ替えた数　100c + 10b + a
３．大きい方から小さい方を引き算します
　　　　　( 100a + 10b + c ) - (100c + 10b + a) = 99(a-c)
この数を３けたの数を表すように展開します。
　　　　　99 ( a - c ) = ( 100 - 1 ) ( a - c )
= 100 ( a - c ) - ( a - c )
= 100 ( a - c - 1 ) + 100 - ( a - c )
= 100 ( a - c - 1 ) + 90 + ( 10 - a + c )
５．最後にこの数の100のくらいと1のくらいを入れ替えた数を足すと
　　　　　{100(a-c-1)+90+(10-a-c)}+{100(10-a-c)+90+(a-c-1)}
=100{(a-c-1)+(10-a-c)}+90+90+{(a-c-1)+(10-a-c)}
=100 × 9＋180＋9
= 1089

この「1089」という数には、前にした「カプレカの数 = 6741」みたいな名前がついていないか探してみたが、見つかりませんでした。ただし、
この数を使ったマジックや手品があるようで、それらを「1089マジック」とか「1089トリック」とかいうようです。

1089 という数はどういう性質を持つ数なのでしょうか？
　　　　1089 = 99 × 11 = 11 × 11 × 3 × 3 = 33 × 33

ちなみに「カプレカの数」というのを調べてみたら、6741　以外にもあるようなのです。これについては研究してみて、いずれまた報告します。

今回の「不思議な数」のネタ本は「あもしろくてためになる東大式科学手品　タネも仕掛けもサイエンス」（監修東京大学奇術愛好会　主婦の友社刊）です。この本もなかなか面白い本でした。

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赤と黒の借金と財産のゲームはおもしろそうである。

岩波科学の本の「数は生きている」銀林浩・榊忠男著を読んでいたら、もうひとつやってみたくなるおもしろい話がのっていた。

「赤と黒のゲーム」と題したトランプのゲームである。
1〜5までのトランプのカード全部とジョーカー1枚で合計21枚のカードをそろえる。
3人に7枚ずつ配る。
赤のカード（ハートとダイヤ）は財産、黒のカードは借金である。その金額はそれぞれのカードに万円をつけたものである。
たとえばハートの2は2万円の財産、クラブの３は3万円の借金である。ジョーカーは借金でも財産でもない、つまり0である。
ゲームは場場抜きと同じ要領で、まず親のカードから1枚、次のものが抜く。そのつぎのものがそこからまた1枚ぬく。
そして初めの一まわりが終わった以降ならば、カードが抜かれた瞬間だけ、その抜かれたものがストップをかけることができる。
ストップをかけられたら、自分のカードを合計して、誰が一番金持ちかを決める。
ただしストップをかけたものより金持ちがいたら、ストップをかけたものが自分のカードと最下位の者のカードと交換しなければならない。
それから逆に自分が一番貧乏だと思った時も、やはりストップをかけてよい。
そしてたしかにそうだったら、全員のカードの貸借を全部反対にする。
つまり、財産は借金に、借金は財産にするのだ。

これをやってみると、結構このゲームが、世の中の実際の取引を敷きうつしているのだそうである。
実際にやってみた所で「これは面白い」と紹介したらいいのに、やらずに「おもしろそう」というだけではずるいのかもしれないが…………。

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簡単だけど解けていない数の問題

岩波科学の本の「数は生きている」銀林浩・榊忠男著を読んでいたら、こんな話がのっていた。

まず最初に勝手な自然数を取ってきて、それが偶数なら２で割り、奇数なら３をかけて1を足す。
そうして得られた数が偶数なら2で割り、奇数なら３をかけて1を足す。
こうした手続きを繰り返していくと、必ずいつかは１に行きつくというのだ。

3の場合
３　→　１０　→　５　→　１６　→　８　→　４　→　２　→　１
７の場合
７　→　２２　→　１１　→　３４　→　１７　→　５２　→　２６　→　１３　→　４０　→　２０　→　１０　→　…………

いまだ、こうならない自然数は未だ一つも見つかっていない。かといって必ずそうなることが証明されているわけでもない。

こんな簡単な問題が解けていないというのが、ちょっと驚きである。
コンピューターでやらせてみたら、直ぐにできそうな気がするけれど、それがそうでないらしい。
きっとコンピューターは延々とその数を探し続けるのであろう。
こんど暇を見つけたら、プログラムを作ってやってみようという気になるけれど、そういう暇がいつになったら見つかるかどうかの問題だと思う。

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フィボナッチ数列のトキメキ

「フィボナッチ 自然のなかに隠れた数を見つけた人」（ジョゼフ・ダグニーズ 文 ジョン・オブライエン 絵 渋谷弘子 訳）という絵本を読んだ。確かこの本は今年の「夏休み読書課題図書」に入っていたので知った絵本である。

中世のイタリアで子ども時代を過ごしたレオナルド・フィボナッチ（1170〜1240）は、あけてもくれても数のことばかり考えていました。そのため、他には能がない「のうなし」と呼ばれていたほどでした。
成長して世界中を旅したレオナルドは、諸国で使われていた数字、
とくにアフリカでであったインド・アラビア数字に魅せられやがて自然界にある多くのものが、ある決まった数でできていることに気づきます。かつて「のうなし」とからかわれていた少年が、フィボナッチ数列と呼ばれることになる数列を発見した瞬間です。
うさぎの繁殖に関する簡単な文章問題で現在その名を知られるフィボナッチは、今では史上もっとも優れた西洋の数学者の一人に数えられています。本書はけっして「のうなし」ではなかった一人の人物の物語です。

フィボナッチ数列とはこういう数列である。
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377……………
つまり前の二つの数の合計が次の数になるような数列のことです。

この数列の面白さを教えてくれたのは、いまから40年まえに、わたしの家で3組の夫婦があつまってビールを飲みながら薀蓄を披瀝しあう「考現学セミナー」をおこなっていたときに、大学の数学科を卒業したメンバーの一人であった。
この数列が黄金比と関係するということを難しい数式をもちいて説明してくれた。その数式はわからなかったが、この数列の面白さは十分に理解できた。

この絵本ではフィボナッチが出題した問題を紹介している。

赤ちゃんうさぎを2羽、野原にはなした男がいる。
うさぎが成長して、あかちゃんうさぎを産めるようになるには一カ月かかる。そのうさぎがオスとメス1組の赤ちゃんうさぎを産むにはさらに1カ月かかる。
毎月1組の大人のうさぎがあらたに産む赤ちゃんうさぎは1組とする。
1年後にこのおとこはうさぎを何組手にしているでしょうか？

まず1回目にいるうさぎは、赤ちゃんうさぎが1組。
1カ月後には、赤ちゃんうさぎを産めるほどに成長したうさぎが1匹。
2カ月後に、大人のうさぎが1組と赤ちゃんうさぎが1組。あわせて2組。
3カ月後に、大人のうさぎが2組と赤ちゃんうさぎが1組。あわせて3組。
4カ月後に、大人のうさぎが3組と赤ちゃんうさぎが2組。 あわせて5組。
5カ月後に、大人のうさぎが4組と赤ちゃんうさぎが3組。 あわせて7組。

つまりこの数列は、生命の成長や繁殖に関係するというわけです。だから巻き貝の成長や植物の花びらの数にこの数列が隠されている、いわば生物が秩序と調和をたもって生長するための設計図のようなものと言えましょう．
そしてその数列が黄金比と関係するというところもとても面白いことです。

こちらには画像もあります。

７と５の組み合わせ問題 日能研の電車広告から

日能研という中学受験のための予備校が、電車内広告で「シカクいアタマをマルくする」というシリーズの広告を出している。これは私立中学校の入試問題の中でおもしろい問題を紹介する広告である。
私の元いた学校の入試問題も取り上げられたことがあるが、それは入試問題製作者にとって誇らしいことであるらしい。

ところで、最近見た広告がなかなか考えさせられた問題であった。こういう問題を考えだす教員に拍手というところであろう。
あなたもちょっと考えてみてほしい。

５と７をいくつかずつ足してある整数を作りだします。
たとえば5を4個と７を3個で４１となります。
ただし5と7をたす個数は０を含みます。

問1　58を作るには５と７をそれぞれ何個必要ですか？

問2　３１，３２，３３，３４，３５のうち5と7をいくつ足してもつくれない数はありますか？
あればすべて答えなさい。なければなしと答えなさい。

問3　5と7をいくつ足してもできない数があります。その中で最も大きい数は何でしょうか?

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図形における点と線と面の法則

　前述のエンツェンス・ベルガー著「数の悪魔」（晶文社刊）にこんな話も載っていた。

　たとえばこんな平面図形がある。
　それぞれの点と線と面の数を数えよう。
　すると次のような法則が存在する。

　
点の数＋面の数−線の数　＝　1

　10　＋　11　−　20　＝　1






　こんな図形なら

　7　 ＋　2 　−　8 　＝　1






　この図形の場合には

　8　　＋　3　　−　10　＝　1






　自分で任意の図形を考えてみてこの法則を確かめてみるといい。


　これを立体図形で考えてみよう。
　たとえばこういう立体図形なら

　8 　＋ 6 −　12　＝　2

つまり立体図形の場合には

点の数＋面の数−線の数　＝　2

なのである。

　どうしてこうなるのか、どなたか説明できたら教えてほしい。なんていうことのない法則であるのだが、その証明はけっこう難しいのかもしれない。

偶数、奇数そして素数の不思議

「数の悪魔　−算数・数学が楽しくなる12夜」（エンツェンス・ベルガー著　丘沢静也訳　晶文社　1998年刊）を読んでいたら、こんな話が載っていた。

　１より大きな数を選ぶ。（たとえば４としよう）
　それを２倍する。（つまり８である。）
　それを４倍する。（つまり３２である。）
　するとその２倍した数と４倍した数の間には少なくとも素数が１つはある）

　たとえば１１１．その２倍は２２２，その４倍は４４４。その間の素数は３０７である。ほかにはなかっただろうか？

　２より大きなある偶数を考える。するとそれはかならず２つの素数を足したものである。

　たとえば
　　　　　４８＝３１＋１７
　　　　　３４＝２９＋　５
　例外なしにそうなのだが、これはだれもまだ証明ができていないという。

　もうひとつ、奇数にも似たような特徴がある。

　５より大きな奇数を考える。するとそれはかならず３つの素数を足したものである。

　たとえば
　　　　　　７＝１＋　１＋　５
　　　　　　９＝１＋　３＋　５
　　　　　５５＝５＋１９＋３１
　これも、証明できていないのだそうだ。

　この本の著者エンツェンス・ベルガーであるが、1929年ドイツ生まれの詩人、作家、批評家である。常に時代への鋭い提言に満ちた文筆活動を展開。「政治と犯罪」「ドイツはどこへ行く」「冷戦から内戦へ」「スペインの短い夏」「意識産業などの評論集や「ねこのアイウエオ」などの絵本、子ども向けのソングブックも出している。
　そういえば「スペインの短い夏」「意識産業」は学生時代に読んだ覚えがある。内容は覚えていないが。
　つまり、この著者は数学者ではないところが興味深い。　　　　　

音楽と数字の不思議な関係

　10月12日のＮＨＫＦＭ「トーキング　ウィズ　松尾堂」を聞いていました。この日は「音楽と数学を嗜（たしな）む」というテーマでゲストに数学者の秋山仁氏が迎えられていました。

　話の中で数学者ピタゴラスの「音楽の美しさと数学」との関係について話していました。数学者ピタゴラスについては以前紹介したことがあります。
　このなかでこんな話がありました。

　１オクターブの音階は１２の半音から成り立っています。それらに１〜１２の番号を振ります。ピアノの鍵盤の黒鍵を含めて番号を振っていく感じです。
　ド　　＝１
　ド♯　＝２
　レ　　＝３
　レ♯　＝４
　ミ　　＝５
　ファ　＝６
　ファ♯＝７
　ソ　　＝８
　ソ♯　＝９
　ラ　　＝10
　ラ♯　＝11
　シ　　＝12
　ド　　＝13

　このようにふっていくと
　ドミソの和音は　　1　　5　　8　　13
　中の差をとると　　　4　　３　　5

　ドファラの和音は　1　　6　　10 13
　差をとると　　　　　 5 4 3

　レソシの和音は　　3　　8　　12　　15
　差をとると　　　　　5　　4　　　3

　いずれも同じ「3,4,5」となります。
　この「3,4,5」で思い出すのはあのピタゴラスの定理ですね。つまり直角三角形の辺の長さになるわけです。

　ハ長調の標準の「ラ」の音の振動数は442HZで、１オクターブ高い「ラ」はちょうど２倍になります。その間を12等分するとそれぞれの音階の振動数が出てくるというわけです。
　音楽というのは数字と深い関係があるわけですね。

　中世の時代の大学で学んだことはリベラルアーツと呼ばれている７つの学問でした。文法、論理学、修辞学、算術、幾何、天文学、音楽は自由七芸と呼ばれていました。このなかで音楽は理系の学問だったそうですね。

　ここまでが秋山仁氏の話でした。

　そういえば、「πの音楽」というのもありました。円周率πの無限数列である、3.14159265…に対して、1=ド，2=レ，…8=上のド、というように音符を振り分けて、曲をつくった人がいました。このテープを注文して聞いたらけっこう美しく神秘的な音楽でした。
　ほかにも「eの音楽」とか「フィボナッチ数列」「黄金比の音楽」とかもあるようです。こちらはまだきいていません。
　

「メランコリアの魔法陣」デューラーの不思議

　私の父は「魔法陣」が好きで、年賀状はいつも魔法陣であった。その父がおそらく知っていたであろうデューラーの「メランコリーの魔法陣」を「さんすうゲーム」（藤沢市算数教育研究会著　太平出版社）で知った。

　魔法陣とは、１からある数までを正方形に並べて、タテに合計してもヨコに合計しても、あるいはナナメに合計しても同じ数になるものをいう。

　タテヨコ４ずつの１６コマの魔法陣で、１から１６までの数を入れた魔法陣に「メランコリアの魔法陣」というのがある。
　この魔法陣はタテ、ヨコ、ナナメの合計だけでなく、４等分した正方形の中の数も、四ずみの数も、まん中の正方形の数も、残った２個ずつの数をそれぞれ向かい合ったもの同士の数も、その合計が３４になるというスグレモノの魔法陣である。


　この魔法陣は１５１４年（この数も魔法陣に書かれている）オランダの画家デューラーの「メランコリー」という作品に描かれているものである。
　この版画は翼の生えた科学の天才が科学の謎解きのために考え込んでいる絵である。長い間の思考ののちに何かがひらめいたのであろう。虹がかかり鐘が鳴り、天使が祝福している。その絵の壁に掛かっているものがじつにこの「メランコリアの魔法陣」なのである。


　デューラーは芸術家であるとともに数学や思想家でもあった。かれはルターの宗教改革にも共感し、ルターを｢私を大きな不安から私を助け出したキリスト教徒｣と呼んでいた。
　また彼は、エンペドクレス=ヒポクラテスの四体液説と占星術を結びつけ、黒胆汁質がつくりだす「メランコリー」が、芸術家や科学者に共通してもっている創造性の源のように考えていたようである。
　

循環小数の不思議 「分割和」

　前に循環小数の不思議について書きました。
　たとえば
　　１÷７＝0.142857142857142857………
　というときに繰り返す 142857 を「循環節」というのだそうです。
　この142857 がとても不思議な数であるのです。

　この数にはまだ不思議なことがあります。

　142857 を２つに分割して
　　１４２＋８５７＝９９９
これを２分割和といいます。

　さらにこれを３分割すると
　　１４＋２８＋５７＝９９
これを３分割和といいます。

　他の素数でもやってみましょう。

　たとえば１３の場合
　　１÷１３＝0.0769230769230…………
　循環節は０７６９２３ですね。
　２分割和は
　　０７６＋９２３＝９９９
　３分割和は
　　０７＋６９＋２３＝９９

　たとえば１７の場合
　　１÷１７＝0.05882352941176470588235294447647…
　循環節は０５８８２３５２９４１１７６４７です。もう電卓では計算できない。
　２分割和は
　　０５８８２３５２＋９４１１７６４７＝………
　３分割和は
　　これは３では割り切れないので、求められない。

　たとえば４１の場合
　　１÷４１＝0.02439024…………
　循環節は０２４３９の５けたです。
　これは桁数が２でも３でも割り切れないので、分割和がとれないことになります。

　その他の素数でもやってみてください。

12345679 という数の不思議

　先ず初めに１から９までのある数を思い浮かべてください。
　そしてそれを９倍します。
　さらにその数に 12345679 をかけます。123456789 ではありません。８がないのです。
　すると………。
　たぶんびっくりします。やってみてください。

　例で示しましょう。
　たとえば７を思い浮かべたとします。

　７×９＝６３
　６３×１２３４５６７９＝７７７７７７７７７

　なのですね。
　ほかの数でも試してみてください。

　この 12345679 という数は何ものなのでしょうか？
　ちなみにこの数を９倍してみると
　１２３４５６７９×９＝１１１１１１１１１
となります。
　この数は１１１でわれそうですね。
　１２３４５６７９÷１１１＝１２３４５７９０
　今度は６と８がきえました。
　１２３４５７９÷３７＝３３３６６７
　この３３３６６７は素数のようです。

　３７という数の特徴があります。
　１÷３７＝0.027027027…………
　つまり、０２７の循環素数となります。このことと関係があるかもしれません。

　いやあ、数ってほんとうに不思議です。

物理学と数学の関係

　今日の昼休みの昼食時の話題は「博士の愛した数式」の話しであった。わたしはつい最近この映画を見たのである。面白かったので、たまたま隣にいた数学の先生にこの話しをしてみた。

　その数学氏との対話。
「あの映画は確かに面白い。問題点がないわけではないが、オイラーの公式についてはもっとも美しい数式と言えるものだ。まったく無意味な数の羅列と思われるπともうひとつの何とか数（名前を忘れた）とが複素数をもって繋がって来るというのは感激の極みだろう。」
「それは、フィボナッチ数列と黄金比の関係みたいだね。」

　話しは飛躍して、物理学と数学との関係についての話となった。
「ニュートンの時代は完全に物理学のほうが数学よりもずっと進んでいた。数学は物理現象を表すときに使われていたんだ。放物線と２次方程式みないな関係だ。」
「そういえば、高校のとき、ベクトルは物理の授業で習ったけれど、カリキュラムが変わってベクトルは数学で学ぶようになったのと同じかな？　力の合成とかを平行四辺形で説明していたあれ。」
「それが２０世紀の初頭に書けて、数学が優位となる。物理現象で物理学的に解明できない現象を数理学的に説いてしまう例がいくつも見られるようになるんだ。ガウスとかカントールとかいう数学者が活躍した時代である。」
「それは面白い。アインシュタインの相対性理論はどういう位置づけになるのか？」
「物理学が少し盛り返したというところかな。物理学と数学はこのようにシーソーゲームみたいな関係なんだな。お互いに競い合い、協力しあって、発展していくというわけだ。物理学の発展が数学の進歩を促し、数学の発展が物理学の進歩を促したというところが多い。」
「それってコンピューターの言語と数学の関係にも言えることだろうか？」
「老荘の思想と物理学との関係というのもあるよ。タオ物理学とか言うらしい」
「インドでは仏教の『空の哲学』が「ゼロの発見」と関係あるとかないとか」
「ピタゴラスが音楽や美術の美しさを数学的に解明しようとしていたのと似ているかも。」

　わかったような、わからないような話であった。
　それにしてもいつもながら、昼食時の我が校の教員たちの話しは格調高く、また興味深いものがある。

友愛数と完全数

　１月７日の朝日新聞「目の冒険　脳で見るアート」（中ザワヒデキ著）という記事に「友愛数」をテーマにしたアートが紹介されていた。
　ポリ袋の中に多数の１円玉と５円玉、１０円玉」が入っている。全部で２２０枚２８４円になる。その写真が添えてあった。この２２０と２８４というのは「友愛数」なのである。

　友愛数とは、「お互いに自分自身以外の相手の約数を足したものに等しい二数」のことである。
　220の約数の輪＝1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110＝284
　284の約数の輪＝1+2+4+71+142＝220

　これは紀元前６世紀にピタゴラスによって発見されたという。ピタゴラスがある人から「友人とは何ですか？」と開かれた時、「それはもうひとつの私です。たとえば２２０と２８４のようなものです。」と答えたという。
　その後オイラーが18世紀に発見した友愛数は308620、389924 である。
　(220、284)、(1,184、1,210), (2,620、2,924)、(5,020、5,564)、(6,232、6,368)、(10,744、10,856)、(12,285、14,595)、(17,296、18,416)、(63,020、76,084)、(66,928、66,992)など、全部で550組が発見されているという。
　ただし、「友愛数の組は無限に存在するか？」「偶数と奇数からなる友愛数の組は存在するか？」という問いは未解決なのだそうである。
　聖書の創世記３２章４２節の「ヤコブとエサウの再会」のときに、ヤコブがエサウに贈った羊と山羊の数は２２０匹であった。「雌山羊200匹、雄山羊20匹、雌羊200匹、雄羊20匹」を贈ったとされている。ヤコブはこの「友愛数」を知っていたのであろうか？

　「完全数」というのもある。これはその数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のこと。6 = 1+2+3, 28=1+2+4+7+14 などで、１世紀には6、28，496、8128と４つがわかっていたが、コンピューターで計算しても２３しかわかっていない。これも有限なのかどうかは証明されていないそうである。
　古代の人たちは，神様が６日間で世界をつくった（月，九　水，木，金，土のつぎは休み）のは、最初の完全数が「６」だからであり、月が地球のまわりを、約２８日で１週するのは、２８が完全数だからである、と考えていたらしい。
　

１７２９は不思議な数字

１７２９という数字は特別な数字である。
なぜなら
「二つの数の立方の和として二通りに表せる、最小の自然数」だからである。
　つまり、
　　　1,729 =１×１×１＋12×12×12＝９×９×９＋10×10×10
ということである。

こういうのはどうやって探すのであろうか？
しらみつぶしにやっていくのだろうか？
とするとこれを確かめるプログラムがBASICで書けそうですね。

誰か試みてください。できたら教えてくださいね。

9×9＝日本 19×19＝インド

今日通勤の途中電車に乗っていたらこんな広告が目につきました。
これは何のことかと思ってよく読んでみたら、日本ではかけ算は「九九（くく）」で覚えますが、インドでは19までを一語で数えるために（つまり２０進法というわけかな）九九に当たるものを19で行うというものです。
覚える量は４倍になるのかもしれませんが、インドの子どもたちはすぐに覚えてしまうとか……………。

日本人が暗算に比較的強いのは、「数の数え方」により、とりわけて「九九」をそらんじることがたやすいからだと思っていました。
電卓の普及した今これがどこまで言えるのかは判りませんが、それを19まで行えるインドの方式ではきっとそこまでの計算は速いでしょうね。

ちなみにこの広告主は「栄光ゼミナール」という予備校でした。日能研といいこの栄光ゼミナールといい、結構考えさせる広告を作るので楽しみにしています。

SEND MORE MONEY の覆面算

　ここに足し算の筆算がある。異なるアルファベットには異なる数字が、同じアルファベットには同じ数字が隠されている。それぞれのアルファベットには、どのような数字が入るか？

　　　　Ｓ　Ｅ　Ｎ　Ｄ
　＋　　Ｍ　Ｏ　Ｒ　Ｅ
　───────────
　　Ｍ　Ｏ　Ｎ　Ｅ　Ｙ

　この問題は、「ハッピーになれる算数」（新井紀子著　理論社刊　「よりみち！パンセ」シリーズ）に紹介されていました。
　もっとも以前どこかでこの問題は読んだことがあります。
　私はその時は、解決できたと記憶しています。この問題を一番最初に考えた人はえらい！の一言に尽きます。
　著者は「この問題を解くなかで『経験すること』が人生に関係がある」と述べています。


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３６５は「神の数」なんだそうです。

３６５は「神の数」なんだそうである。

365=10*10+11*11+12*12=13*13+14*14

う〜ん。そうかもしれない。


メキシコのユカタン半島のチチェン・イツアの遺跡に「ククルカンのピラミッド」（羽毛の蛇）と呼ばれている四角錐型のピラミッドがある。
９層、高さ30ｍ。４面に頂上に達する91段の階段がある。
９層は階段で左右に分けられて、9×2＝18。マヤ・ハアブ暦１年の月数をあらわす。
階段の総段数91×４＝364、これに頂上の１段を加えて、365。１年の日数をあらわす。

（1+2+3+………+13)*4+1＝365
　91*4+1＝365

というわけである。う〜ん、神秘的である。